「重力とは時空の歪みである」とは一体どういうことか。

空間が曲がっているとは一体どういうことか。

円柱面も球面も見た目的には「曲がって」いる。しかし実は円柱面上の幾何学は平面上のそれとまったく変わらない。一方で球面上の幾何学は平面のそれとは異なる。両者は曲がっているが、その「曲がり方」には何らかの差があるのだ。

幾何学を成立させるためには距離の概念が必要である。実際、任意の二点間に距離が定義できていれば、最短経路としての直線を定義することができる。そして空間は十分拡大するとユークリッド空間に収束するという仮定を加えれば、二直線間の角度を定義できる。こうして円柱面でも球面でも三角形を定義することができる。しかし内角の和は球面上では180°とはならない。

一体円柱面と球面との差はどこから来るのだろうか？　それが見た目的な曲がり具合からではないことは明らかである。

距離が定義できれば幾何学が展開できる。したがってもしも、ある曲面を任意の二点間の距離を不変に保ったまま、平面上に写す事が出来れば（つまりそのような性質を持つ写像が存在すれば）その平面上で展開できる幾何学は、その写像によって全く同じように平面上で展開することが可能となるだろう。

つまり、円柱面と球面の差とはこの平面への「等長距離写像」が存在するか否かであるということになる。

すると次の問題は、等長距離写像が存在する条件とは何かということになる。これがいわゆるリーマンの曲率テンソルの出自である。つまり曲率テンソルが大域的に０になることと、等長距離写像が存在することとは同値なのである。（本当？）

距離を保つということから明らかなように、重要なのは空間の見た目なのではなく、その上に定義された距離＝計量である。空間という集合論的な入れ物はそれ自身では空虚なものであるが、そこに計量を与えることによって一気に幾何学的存在として現れて来るのである。

アインシュタインが示した重力方程式というのは、この計量を決定するものだと言って良い。我々は時空という空間にどんな計量が定義されているのかア・プリオリには知らない。アインシュタインはそれを見つけたのである。

結論を言葉で言えば、時空の計量はそこにある物質の量で決まる。ということになる。そして計量が決まると直線＝測地線が決まり、それが物体の運動だということになる。つまり重力によって物体が運動しているのではなく、物質が生み出す時空の計量によって物体の運動線が定まるのである。

要は重力とは計量なのである。そして計量は空間が「曲がっているか」どうかと言っても良い。なので、よくよく知られている一般相対性理論における標語「重力とは時空の歪みである」に落ち着くことになる。

次の疑問はもっと実際的なものだ。すなわち一体リーマンの曲率テンソルとはなんぞや？　そもそもテンソルとはなんぞや？　という話。一般相対性理論の話の持って行き方は分かったけれども、その具体的な構成方法が次に知りたくなって来るというわけだ。