波動方程式のより原理的な導出

波動の本質的性質は任意の点における変位はその点に無限小近接する点の変位から誘起されるという点である。この本質的性質だけから波動方程式を導きたい。弦や膜といった具体的な現象から導くのは、あまりにその例へ依存してしまうから避けたい。

誘起されるということを力が働くと考える。（この「力」はニュートン力学における力よりも広い概念である。）この力は変位の時間変化を生み出すが、それは一階か二階か、あるいはより高階の微分のどれに影響するだろうか？

１階の時間微分に影響すると仮定しよう。すると波動は存在できない。これはバネの例を考えれば良い。実際、もしもバネにつながれた質点の変位が

と表現される場合、その質点は往復運動をすることなく、バネの自然長に速度を落としながら近づいて、そこにたどり着いた時に静止するだけである。

したがって力は１階の時間微分には影響しない。

故に２階以上ということになるが、２階で十分である。

であれば、質点は往復運動する。力が二回微分に作用するということが、ある意味で「時差」を生むことで、質点に往復運動する余裕を与えるのである。

したがって波動方程式は

という形式に「なるべき」である。（３階以上の時間微分に力が影響することもないとは言えないし、その場合どうなるか考えるのはなかなかおもしろそうである。）

変位を誘起する力というのは、最初に述べたとおり、その点に無限小近接する点における変位から生じる。より正確に言えば、その点における変位と無限小近接する点における変位との差によって、変位は誘起される。実際、もし二点における変位が等しいのであれば、そこには伝わるべきものは何もないのである。

従って変位を誘起する力（の一つ）は

によって与えられる。

ここで忘れてはいけないのは、力はその点に無限小近接する６点からそれぞれ生じるという点である。（空間をdx,dy,dzで無限小立方体に分割すると、一つの立方体は接する６個の立方体から力を受ける。）

この６つの力はx,y,z軸に沿って２つ１組にすると数式的に扱いやすくなる。実際そうするとx,y,z軸に沿う「変位の変化率の変化率」が実質的な効果として現れていると考えられる。要はx軸方向の右との変位差と左との変位差を考え、その差（つまり「差の差」）がx軸方向からの寄与として現れる。これは要するに変位の加速度である。従って無限小近接する全ての点からの寄与を考慮するならば、変位を誘起する力（のx方向からの寄与）は

によって与えられるべきである。

x,y,z軸方向からの寄与はただ単純にこれらを足して

で与えられる。（方向によって比例定数が異なると考えてもいい。ただそれは波動に関して本質的ではない。）

なので結局

これが「変位伝達現象」つまり波動の時間発展を記述する局所的法則であるということになる。

ここでやったのは変位とその伝達に関して我々が持つ自然な直感を当てはめて波動方程式を導出するということであり、何か特殊な設定を行えば、その「自然な直感」に当てはまらない例を作ることはできるだろう。例えば膜を特殊な素材で作れば、変位を誘起する力が変位差の二乗で表されるようなことになるかもしれない。