ルジャンドル変換の必要性とは
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ルジャンドル変換とは何か（Legendre transformation）
ある力学系の時間発展はラグランジアンLによって特徴付けられる。つまり力学系の全ての情報はLに含まれていると言える。もう少し正確に言おう。そもそもLとは何かというと、それは関数であり、関数とは変数と変数の対応関係であった。であるから系を記述する変数の組とラグランジアンの値Lとの対応関係が力学系の全ての情報を含んでいるのである。重要なのは変数と変数の対応関係それ自身である。
解析力学の目的は変数変換によって複雑な運動方程式を解くことである。しかし変数変換によって一般に関数が表す対応関係は変化する。それは当然で変数xと変数yとの対応関係y=y(x)と、x=x(u)である変数uと変数yとの対応関係y=y(x(u))とは異なるのは明らかだろう。（例えばxとuが同じ値であっても、一般に対応するyの値は異なる。これはx-yとu-yの対応関係が異なることをはっきりと表している。）
ラグランジアンの変数を単純に変換すると、Lが持っていた情報は変化してしまう。そこで変数変換を行った時、新しい変数の組に対して新しい関数Hを上手い方法で定義する必要が出てくる。つまりLが持っていた対応関係の情報と全く同一の情報（＝変数依存性）をHが持つようにするのである。この「上手い」変数変換（より正確に言うと、変数の変換に伴う関数の変換）がルジャンドル変換と呼ばれているものに他ならない。
ルジャンドル変換がなぜ情報を保つのかは、幾何学的に考察すると分かりやすい。
ある幾何学的対象（曲線や曲面）を別々の見方をしていると解釈出来るからだ。LもHも同じ図形Xを再現できる。*1幾何学的対象はア・プリオリに与えられていると考え、座標系を導入することによって変数間の対応関係が規定される。つまりLもHも同じ幾何学的対象から、単に座標系の入れ方が異なるだけで生み出されているということだ。逆にLやHが与えられていれば図形Xを復元できるのだから、LもHもXが持つのと同じ情報量を持つと言える。
認識すべき重要な点は、変数を変換すると、関数も変換しなければならないということだ。
物理学でしばしば用いられる変数の変換がある。それに対する関数の変換がルジャンドル変換である。なぜこの変換が解析力学で重宝されるのかというと、それはこの変換によって得られるHについての正準方程式が、ラグランジアンLを用いたラグランジュ方程式よりも理論的に扱いやすいからであろう。（同じ情報量を持っているのに、視点によって問題が扱いやすくなる・・・これが変数変換の利点である！）
